Сегодня БЫЛА (уже прошла) олимпиада, я не справилась с задачей: В прямоугольнике ABCD с...

Question

Сегодня БЫЛА (уже прошла) олимпиада, я не справилась с задачей: В прямоугольнике ABCD с большей стороной AD точка E — середина стороны AB, a M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины D на отрезок CE. Докажите, что треугольник MAD — равнобедренный.
Объясните, если кто понимает.... по времени ...теперь)))...не горит, просто хочется разобраться.

Comments

я так поняла что нужно доказать равенство углов AMD и ADM а это уже через свойство вписывания четырёхугольника ADME в окружность...

---

окружность описываем...По свойству вписанных углов, AMD равен AED......

---

AED = BEC равенство треугольников, так ?

---

Мне кажется нужно доказать равенство треугольников СЕД и МАД

---

думаю :)

Answer 1

  Проведем ЕК параллелльно АД. 
 Углы ВЕС и ЕСК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ  и СК  
Рассмотрим прямоугольные треугольники ВЕС и ДМС. 
Они подобны, т.к.если в одном прямоугольном треугольнике  один из острых углов равен острому углу другого, то эти  треугольники подобны
 Следовательно, углы ВСЕ и МДС равны.   
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на АС, и проведем НТ  параллельно ЕМ. 
 Получился прямоугольник МЕНТ 
В прямоугольнике ВСКЕ углы ВСЕ и СЕК равны как  накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК. 
 В прямоугольнике ЕМТН НМ и ЕТ - диагонали.
 Они равны и точкой  пересечения О делятся пополам.
Следовательно, треугольник  ЕМО равнобедренный, и угол МЕТ равен углу ЕМН.  
А так как угол СЕК и МЕТ - один и тот же, угол ЕМА равен  углу ВСЕ и равен углу СДМ. 
Каждый из этих равных  углов  дополняет углы при МД до  прямого.
Следовательно,  углы АМД и АДМ равны, и  треугольник АМД - равнобедренный.  

---

Comments

Просто круто спасибо!)

---

углы при основании МД дополняются до прямого углами СДМ и ЕМА. Как Вы перешли к равенству угол СДМ= углу ЕМА?

---

Вы правы, немного поспешила, показалось очевидным это равенство. Ответ дополнила, надеюсь, теперь решение верное.

---

Спасибо. Особо понравился прямоугольник МЕНТ. :)

---

Вообще-то правильнее (точнее) этот МЕНТ строить от точки пересечения ЕК и МД параллельно ЕМ, и поставить вершину Н в точке пересечения перпендикуляра из Е и прямой из Т.