Найти область сходимости степенного ряда (задание ** фото):

0 голосов
46 просмотров

Найти область сходимости степенного ряда (задание на фото):


image

Математика (654k баллов) | 46 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Радиус сходимости \sf \displaystyle R=\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{n+1}\cdot\frac{n+2}{(n+1)^2}=1

ряд сходится при всех х ∈ (-1;1).


Исследуем сходимость ряда на концах интервала (-1;1).

Если x=-1, то

\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n\cdot n^2}{n+1} - расходится по признаку Лейбница.

Если x=1, то \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{n^2}{n+1} -расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.


Ответ: ряд сходится абсолютно при x ∈ (-1;1).

(654k баллов)