ДАНО: Y = (x³-4)/x²
ИССЛЕДОВАТЬ.
1.Область определения D(x) - x²≠ 0 - разрыв при Х =0.
Вертикальная асимптота: X = 0.
D(x) - Х∈(-∞;0)∪(0;+∞).
2. Пересечение с осью Х.
x³ -4 = 0 при х = ∛4 ≈ 1.6.
3. Пересечение с осью У – нет – функция не существует.
Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Х∈(-∞;0)∪(0;∛4).
Положительна: Х∈(∛4;+∞). .
4. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = - ∞ limY(+∞) = +∞.
Горизонтальных асимптот - нет.
5. Исследование на чётность.
Y(-x) = (-x³+4)/x² ≠ - Y(x). Y(-x) = -(-x³+4)/x² ≠ - Y(-x).
Функция ни чётная ни нечётная.
6. Производная функции.
Y’(x) = 1 + 8/x³=0 x= ∛8 = -2
7. Локальные экстремумы.
Максимум – y(-2) = - 3. Минимума – нет.
8. Интервалы монотонности.
Возрастает: X∈(-∞;-2)∪(0;+∞), убывает - Х∈(-2;0)
9. Вторая производная- Y"(x) = 24/x = 0.
10. Точек перегиба - нет (Только в точке разрыва - Х =0)
Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;0). Вогнутая – «ложка» Х∈(0;+∞).
11. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞)
12. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).
k=lim(∞)Y(x)/x³ = 1 – разделили на х3 -
F(x) = (x - 4/x²)/(x²/x²) = x. (Разделили на х2)
Уравнение наклонной асимптоты F(x) = x.
13. График в приложении
