Математический анализ

Это равенство доказывается по индукции. Для n=1:

1³=1² -верно. Докажем, что если равенство верно для какого n=k, то оно верно и для n=k+1:

$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...k+(k+1))^2$

По предположению индукции

$1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2$

Поэтому

$(1+2+...+k)^2+(k+1)^3=(1+2+...k+(k+1))^2\\(1+2+...+k)^2+(k+1)^3=(1+2+...+k)^2+2(k+1)(1+2+...+k)+(k+1)^2\\(k+1)^3=2(k+1)(1+2+...+k)+(k+1)^2\\(k+1)^3=2(k+1)\frac{k(k+1)}{2} +(k+1)^2\\(k+1)^3=k(k+1)^2+(k+1)^2\\(k+1)^3=(k+1)^3$

Получили верное равенство, значит равенство верно для всех натуральных n