1. Нахождение длин ребер и координат векторов x y zКвадратДлина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -4-7-1668,124038405
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} 12-4214,582575695
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -3-5-5597,681145748
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} -6-3-2497
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} -24-1214,582575695
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC} -323224,69041576
Косинус угла АВС равен:
cos(ABC) = (4*1+7*2+1*(-4))/(√66*√21) = 14/(3√154) ≈ 0,376051.
Этому косинусу соответствует угол 1,185266 радиан или 67,910731°.
2) Площадь грани ВСD.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
ijk
12-4
-24-1
= i(2(-1)-4(-4)) - j(1(-1)-(-2)*(-4)) + k(1*4-(-2)*2) = 14i + 9j + 8k
S(BCD) = (1/2)*√(14² + 9² + 8²) = (1/2*√341 ≈ 9,2331 кв.ед.
3) Объем пирамиды ABCD.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
X1Y1Z1
X2Y2Z2
X3Y3Z3
-4-7-1
-3-5-5
-6-3-2
где определитель матрицы равен:
∆ = (-4)*((-5)*(-2)-(-3)*(-5))-(-3)*((-7)*(-2)-(-3)*(-1))+(-6)*((-7)*(-5)-(-5)*(-1)) = -127.
V = (1/6)*127 = 127/6 ≈ 21,1667 куб.ед.