X^2+2(a^2-3a)х-(6a^3-14a^2+4)=0 найти значение параметра а,при котором сумма корней...

Уравнение имеет корни когда

$D=4(a^2-3a)^2+4(6a^3-14a^2+4)=4(a-2)(a-1)(a+1)(a+2)\geq 0$

С помощью метода интервалов получаем

$a \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [2; +\infty)$

Согласно теореме Виеты для квадратного уравнения:

$x_1+x_2=-b\\$

В данном случае, роль коэффициента b играет выражение $2(a^2-3a)$ , поэтому

$x_1+x_2=-2(a^2-3a)=-2a^2+6a$

f(a)=-2a²+6a

Поищем максимум на отрезке где f(a)≥0.

f(a)≥0, при 0≤a≤3

С учетом неотрицательности дискриминанта получаем такое множество значений a:

$a\in[0;1]\cup[2;3]$

На отрезке [0; 1] функция возрастает, ее максимальное значение достигается при a=1 и равно 4.

На отрезке [2; 3] функция убывает, ее максимальное значение достигается при a=2 и также равно 4.

Ответ: a=1, a=2