Вычислить производную функции y(x), используя определение y′(x0)=lim_{x \to \x_x0}...

$\displaystyle \sf \lim_{зx \to 0} \dfrac{y(x_0+зx)-y(x_0)}{зx}=\lim_{зx \to 0}\dfrac{\sin\sqrt{2x_0+2зx-1}-\sin\sqrt{2x_0-1}}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{2\sin\frac{\sqrt{2x_0+2зx-1}-\sqrt{2x_0-1}}{2}\cdot \cos\frac{\sqrt{2x_0+2зx-1}+\sqrt{2x_0-1}}{2}}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{\sqrt{2x_0+2зx-1}-\sqrt{2x_0-1}}{2зx}\cdot 2\cos\sqrt{2x_0-1}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{2зx}{зx(\sqrt{2x_0+2зx-1}+\sqrt{2x_0-1})}\cdot \cos\sqrt{2x_0-1}=\\ \\ \\ =\dfrac{2}{2\sqrt{2x_0-1}}\cdot \cos\sqrt{2x_0-1}=\cos\sqrt{2x_0-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x_0-1}}$

Полагая $\sf x_0=x$ получим нужное.