Доказать тригонометрическое тождество

Question 1

Question 2

$cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7})$
Воспользуемся формулой $sin2a=2sina*cosa$
тогда если на эту дробь умножить и поделить $2sin\frac{\pi}{7}$
то получим
$\frac{cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}*2sin\frac{\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}} =\\ \frac{sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\$

Теперь если еще раз умножить и поделить дробь теперь уже на $2cos\frac{2\pi}{7}$ , получим
$\frac{2*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ \frac{sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\$

Теперь умножим и поделим на 2
$\frac{2sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \frac{sin\frac{8\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin \frac{\pi}{7}}=\\ \\$

Тогда по формуле приведения
$cos(\frac{2\pi}{7})=sin\frac{3\pi}{14}\\ sin\frac{\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ \\ sin\frac{8\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ cos\frac{5\pi}{7}=sin \frac{3\pi}{14}\\$
Теперь подставим и сократим получим 1/8

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-15T02:52:50+0000

$cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7})$
Воспользуемся формулой $sin2a=2sina*cosa$
тогда если на эту дробь умножить и поделить $2sin\frac{\pi}{7}$
то получим
$\frac{cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}*2sin\frac{\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}} =\\ \frac{sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{2sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\$

Теперь если еще раз умножить и поделить дробь теперь уже на $2cos\frac{2\pi}{7}$ , получим
$\frac{2*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{2\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\ \frac{sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{4*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \\$

Теперь умножим и поделим на 2
$\frac{2sin\frac{4\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin\frac{\pi}{7}}=\\ \frac{sin\frac{8\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}}{8*cos\frac{2\pi}{7}*sin \frac{\pi}{7}}=\\ \\$

Тогда по формуле приведения
$cos(\frac{2\pi}{7})=sin\frac{3\pi}{14}\\ sin\frac{\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ \\ sin\frac{8\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}\\ cos\frac{5\pi}{7}=sin \frac{3\pi}{14}\\$
Теперь подставим и сократим получим 1/8