√каждое целое число от 1 до 12 написали ** двух карточках можно ли разложить все 24...

Question

√каждое целое число от 1 до 12 написали на двух карточках можно ли разложить все 24 получившиеся карточки в две стопки так чтобы произведение всех чисел из одной стопки было в 3 раза больше произведения всех чисел из второй стопки Если да, то как если нет то почему

Answer 1

Нельзя. Докажем от противного.
Пусть это можно сделать, тогда в одной стопке будет произведение х, в другой 3х.
Перемножим их, получается 3x^2.
Теперь перемножим все числа на 24 карточках.
1*1*2*2*3*3*4*4*5*5*6*6*7*7*8*8*9*9*10*10*11*11*12*12 =
= 2^20*3^10*5^4*7^2*11^2
Получили простое уравнение
3x^2 = 2^20*3^10*5^4*7^2*11^2
Если мы разделим обе части на 3, то получим
x^2 = 2^20*3^9*5^4*7^2*11^2
Слева стоит квадрат, а справа 3 в нечетной степени, то есть не квадрат.
Поэтому х получается иррациональным числом.
А вот сделать так, чтобы одно произведение было в 4 раза больше - можно.
1*2*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12
1*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12