Найдите значение параметра b, при котором один корень уравнения x^2+(2b-1)x +b^2+2=0...

Пусть один корень будет x₀, тогда второй будет 2x₀. По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}3x_{0}=1-2b\\2x_{0}^2=b^2+2 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow \begin{equation*}\begin{cases}x_{0}=\frac{1-2b}{3}\\2*\frac{(1-2b)^2}{9}=b^2+2 \end{cases}\end{equation*}$

Решим отдельно второе уравнение:

$2(1-4b+4b^2)=9b^2+18\\2-8b+8b^2=9b^2+18\\b^2+8b+16=0\\(b+4)^2=0\\b+4=0\\b=-4$

Ответ: -4