1)
База (n = 1):
1/3 = (1² + 1)/(4 + 2)
Переход: Предположим, что для n = k всё работает, докажем это и для n = k+1:
1/3 +...+ (k²)/(4k² - 1) + ((k+1)²)/(4(k+1)² - 1) = ((k+1)² + k + 1)/(4k + 6)
По предположению индукции, получаем:
(k² + k)/(4k + 2) + ((k+1)²)/(4(k+1)² - 1) = ((k+1)² + k + 1)/(4k + 6)
Приведём все три дроби к общему знаменателю:
(k² + k)/(4k + 2) = (4k⁴ + 12k³ + 11k² + 3k)/(16k³ + 40k² + 28k + 6)
((k+1)²)/(4(k+1)² - 1) = (4k³ + 10k² + 8k + 2)/(16k³ + 40k² + 28k + 6)
((k+1)² + k + 1)/(4k + 6) = (4k⁴ + 16k³ + 21k² + 11k + 2)/(16k³ + 40k² + 28k + 6)
Знаменатель (16k³ + 40k² + 28k + 6) уберём, так как он одинаков для всех дробей после приведения к общему знаменателю:
(4k⁴ + 12k³ + 11k² + 3k) + (4k³ + 10k² + 8k + 2) = 4k⁴ + 16k³ + 21k² + 11k + 2
Это выражение верно.
2)
База (n = 1):
2 = 2 * 1²
Переход: Предположим, что для n = k всё работает, докажем это и для n = k+1:
2 + 6 +...+ 4k-2 + 4k+2 = 2(k + 1)²
По предположению индукции, получаем:
2k² + 4k + 2 = 2(k + 1)²
Это выражение верно.