2. Найти интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума и схематично построить...

Question

46 просмотров

2. Найти интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума и схематично построить ее график: y=x^3/3-4x

4. Равнобедренный треугольник описан около прямоугольника с основанием a и высотой h. Основание треугольника совпадает с основанием прямоугольника. При каких размерах треугольника его площадь будет наименьшей.

6. С помощью асимптот построить график функции:

Y=x^2+6x+8/x+5

Алгебра victosha_zn (545 баллов) 15 Март, 18 | 46 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y= \frac{x^3}{3-4x};$ ОДЗ: $x \neq \frac{3}{4}$
$y'= (\frac{x^3}{3-4x})'=\frac{(x^3)'(3-4x)-x^3(3-4x)'}{(3-4x)^2}=\frac{3x^2(3-4x)-x^3(-4)}{(3-4x)^2}=$
$=\frac{9x^2-12x^3+4x^3}{(3-4x)^2}=\frac{9x^2-8x^3}{(3-4x)^2}=\frac{x^2(9-8x)}{(3-4x)^2};$
$y'=0;\frac{x^2(9-8x)}{(3-4x)^2}=0;x=0;9-8x=0;x= \frac{9}{8};$

0;" alt="(-\infty;0);y'>0;" align="absmiddle" class="latex-formula">

0;" alt="(0; \frac{3}{4});y'>0;" align="absmiddle" class="latex-formula">

0;" alt="(\frac{3}{4};\frac{9}{8});y'>0;" align="absmiddle" class="latex-formula">
$(\frac{9}{8};\infty);<0$
При $(-\infty; \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4};\frac{9}{8}]$ функция возрастает
При $[\frac{9}{8};\infty)$ функция убывает
$x= \frac{9}{8}$ - точка максимума, $y(\frac{9}{8})= \frac{(\frac{9}{8})^3}{3-4*\frac{9}{8}}= \frac{\frac{729}{512}}{-1,5}=-\frac{243}{256}$
$x \to \frac{3}{4}-0;y \to +\infty;x \to \frac{3}{4}+0;y \to -\infty;$
$x \to - \infty;y \to -\infty; x \to + \infty;y \to -\infty;$
4 Треугольники МСР и РСВ подобны, $CH=x;MC=x-\frac{a}{2};PM=h;$
$\frac{MC}{CH} = \frac{PM}{BH}; \frac{x-\frac{a}{2}}{x} = \frac{h}{BH}; BH= \frac{2hx}{x-a};$
$S_{ABC}= \frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}*2x*\frac{2hx}{x-a}= \frac{2hx^2}{x-a}$
Рассмотрим функцию $y=\frac{2hx^2}{x-a};$
$y'=(\frac{2hx^2}{x-a})'=\frac{(2hx^2)'(x-a)-2hx^2(x-a)'}{(x-a)^2}=\frac{4hx(x-a)-2hx^2}{(x-a)^2}=$
$=\frac{4hx^2-4ahx-2hx^2}{(x-a)^2}=\frac{2hx^2-4ahx}{(x-a)^2}=\frac{2hx(x-2a)}{(x-a)^2};$
$2hx(x-2a)=0;x=0$ посторонний корень $x=2a$ единств критическая точка

0;" alt="(\frac{a}{2};2a);y'=<0;(2a;4a);y'=>0;" align="absmiddle" class="latex-formula">
$x=2a$ - точка минимума
$AC=4a;BH= \frac{2h*2a}{2a-a}=4h$ при этих размерах треугольника его площадь будет наименьшей.

emerald0101_zn (12.2k баллов) 15 Март, 18