Срочно! √(n+√(n+√(n+...√n)))...)=m , где m и n неотрицательные, рациональные, целые...

Question

Срочно! √(n+√(n+√(n+...√n)))...)=m , где m и n неотрицательные, рациональные, целые числа, а корней 2019. Найдите все возможные m и n, не обязательно различные. P.S. Про 0 я знаю, по сути нужно доказать почему только 0 подходит

Comments

n + m = m^2

---

но m число, где корней 2019, а если мы возведём в квадрат корней во втором слагаемом слева останется лишь 2018 => второе слагаемое не равно m

---

Корней 2019, а у Вас их бесконечно много

---

вот и подправляйте условие

---

исправить условие, чтоб задача решалась так как хотелось бы нам? самое странное, что я слышал при решении задач)))

---

Может быть m и n должны быть целыми? В условии этого нет, а без этого задача не имеет смысла

---

да и это

---

но даже с этим как-то не решается

---

да числа рациональные

---

Так рациональные или целые?

Answer 1

Итак, окончательно мы решили, что n и m - целые числа. Проделаем 2018 операций следующего вида: возводим равенство в квадрат и переносим n вправо. Получаем равенство

Справа стоит целое число, n является его квадратом. Для нас важно только, что для некоторого целого неотрицательного числа.  Перенося n налево и заменяя на k, получаем равенство вида

1-й случай. k=0; n=0; m=0. Автор задачи про этот случай знает.

2-й случай. k>0. Докажем, что произведение двух соседних натуральных чисел не может быть полным квадратом. k=1; k+1=2, произведение равно 2 - это не есть полный квадрат. k=2; k+1=3; произведение равно 6 - это не есть полный квадрат. Почему ни при каком натуральном k произведение не может быть полным квадратом? Дело в том, что у соседних натуральных чисел не может быть общих множителей, кроме 1. Поэтому, если их произведение является полным квадратом, каждое из этих чисел должно быть полным квадратом, чего быть не может быть - единственный случай, когда расстояние между квадратами целых неотрицательных чисел равно 1 - это 0 и 1, а этот случай мы уже рассмотрели.

Ответ: n=m=0