ОДЗ: x-4>0 x>4
Рассмотрим числитель:
log₂²(x-4)-log₂(x-4)⁸+16=log₂(x-4)-log(x-4)⁸+16=
=log₂²(x-4)-8*log₂(x-4)+16=(log₂(x-4)-4)²≥0
log₂(x-4)-4≥0
log₂(x-4)≥4
x-4≥2⁴
x-4≥16
x≥20.
Упростим знаменатель:
30-3x-(4-x)²=30-3x-16+8x-x²=-x²+5x+14=-(x²-5x-14)=-(x²+2x-7x-14)=
-(x*(x+2)-7*(x+2))=-(x+2)*(x-7). ⇒
(log₂(x-4)-4)²/(-(x+2)*(x-7)≥0 |×(-1)
(log₂(x-4)-4)²/((x+2)*(x-7))≤0 ⇒
Знаменатель должен быть меньше нуля:
-∞____+____-2____-_____7_____+____+∞
x∈(-2;7). ⇒
Ответ: x∈(4;7)U[20].