Помогите, пожалуйста, решить уравнение!!!

Question

Дан 1 ответ

KayKosades_zn · Answer 1 · 2020-05-21T10:56:18+0000

Во первых проведем замену $\frac{2\pi x}{3}=t$

Уравнение примет вид:

$3cost+cos3t=2cost(3+tg^2\frac{t}{4} -2tg\frac{t}{4} )$

Теперь придумаем какой нибудь хитрый план. Например поделим уравнение на cost и посмотрим что получится. Но чтобы по человечески поделить уравнение на какое то выражение, нужно чтобы это выражение не было равно нулю, иначе есть риск потерять корни. Поэтому посмотрим сначала, что будет если cost=0. Так будет при $t=\frac{\pi}{2} +\pi n$ . Легко понять, что такое t является корнем уравнения.

Отсюда можно сразу выразить первый корень:

$x_1=\frac{3}{4}(2n+1)\\n\in \mathbb{Z}$

Наконец то можно устраивать дестрой и делить уравнение на cost. Получаем:

$3+\frac{cos3t}{cost} =6+2tg^2\frac{t}{4}-4tg\frac{t}{4}\\\frac{cos3t}{cost} =2tg^2\frac{t}{4}-4tg\frac{t}{4}+3\\\frac{cos3t}{cost}=2(tg^2\frac{t}{4}-2tg\frac{t}{4}+1)+1\\\frac{cos3t}{cost}=2(tg\frac{t}{4}-1)^2+1$

Очевидно, что правая часть уж никак НЕ МЕНЬШЕ 1:

$2(tg\frac{t}{4}-1)^2+1\geq 1$

Докажем, что левая часть, напротив, НЕ БОЛЬШЕ 1. Используем в числителе формулу косинуса тройного угла и делим числитель на знаменатель (cost≠0):

$\frac{cos3t}{cost}=\frac{4cos^3t-3cost}{cost} =4cos^2t-3$

Максимум этой функции от косинуса достигаются при $cost=\pm 1$ и равны 1, то есть

$\frac{cos3t}{cost}\leq 1$

Что и требовалось доказать. Но раз одна часть больше или равна 1, а вторая меньше или равна 1, то обе части должны быть равны 1 одновременно. Посмотрим, существуют ли подходящие значения t.

cost=cos3t, при t=πn (тут мы учли, что cost≠0 и выкинули один лишний корень)

$tg\frac{t}{4} =1\\t=\pm \pi+4\pi n$

Очевидно, что последняя серия корней удовлетворяет обоим уравнениям

$\frac{2\pi x}{3} =\pm \pi+4\pi n$

Отсюда

$x_{2, 3}=\pm \frac{3}{2} +6n\\n \in \mathbb{Z}$

Сейчас довольно поздно, и возможно что я где то ошибся или что то не учёл, поэтому решение хорошо бы проверить, перед тем как использовать.