найти угол между касательной к кривой y= x+∛x в точке x₀=1 и нормалью к кривой y=1+√x/(1-√x) в точке х=4
Решение
Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами находится по формуле
tg(α) = (k2 - k1)/(1+k1*k2)
Найдем угловой коэффициент касательной к кривой y=x+∛x в точке x₀=1
Угловой коэффициент касательной определяется по выражению
k = y'(xo)
y' = (x+∛x)' = 1+(1/3)*x^(1/3-1) = 1+(1/3)*x^(-2/3) = 1+1/(3∛x²)
k1 = y'(1) = 1+1/3(∛1²) =1+1/3 = 4/3
Найдем угловой коэффициент касательной к кривой y=1+√x/(1-√x) в точке x₀=4
y' = (1+√x/(1-√x))' = [(1/2)*x^(-1/2)*(1-√x) - √x*(-1/2)*x^(-1/2)]/(1-√x)² =
= (1/2)*x^(-1/2)*(1-√x +√x)/(1-√x)² = 1/(2*√x*(1-√x)²)
k(касат) = y'(4) = 1/(2*√4*(1-√4)²) =1/(2*2*(1-2)²) =1/4
Касательная и нормаль к кривой взаимно перпендикулярна поэтому их угловые коэффициенты связаны выражением
k(касат)*k2 = -1
k2 =-1/k(касат) = -1 /(1/4) = -4
Определяем угол между касательной и нормалью
tg(α) = (k2 - k1)/(1+k1*k2) = (-4-4/3) /(1+4/3*(-4)) =17/13
α = arctg(17/13) ≈ 52,6 градуса