task/30377060 Решить систему уравнений
{ x + y + z = 1 ; xy +yz +xz = - 4 ; x³+y³+z³= 1 . см .также ПРИЛОЖЕНИЕ
решение { x + y + z = 1 ; xy +yz +xz = - 4 ; x³+y³+z³=1 . ⇔
{ y + z = 1 - x ; - yz =4+x(y+z) ; (y+z)³-3yz(y+z) - (1 - x³) = 0 ⇔
{ y+z = 1 - x ; - yz =4+ x- x² ; (1 -x)³+3(4+ x- x²)(1-x) - (1 - x)(1+x+x²) = 0.
Решаем 3-е уравнение системы (относительно переменной x )
(1 -x)( (1-x)²+ 3(4+ x - x²) - (1+x+x²) ) =0 ⇔ 3(x - 1)(x²- 4)=0 ⇔
(x+2)(x -1)(x- 2) = 0 . ⇒ x = {-2 ; 1 ; 2} , т.к. все три уравнении системы симметричны относительно переменных x , y и z , то решение систему будут множество следующих троек :
{ ( -2 ; 1 ; 2) , (-2; 2 ; 1) , ( 1 ; -2 ; 2) ,( 1 ; 2 ; -2 ) , ( 2 ; -2 ; 1) , (2 ; 1 ;- 2) } .
