Подбором легко найти x=8. Докажем, что других корней нет.
Пусть ![f(x)=\sqrt{x-7}+\sqrt[3]{x}-3](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Csqrt%7Bx-7%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D-3 "f(x)=\sqrt{x-7}+\sqrt[3]{x}-3")
Возьмём производную:
![f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-7}} +\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx-7%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D%7D "f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-7}} +\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}")
Видно, что f'(x)>0 при любом x, поэтому функция f(x) монотонно возрастает на всей области определения. Тогда наше уравнение f(x)=0 имеет не больше 1 корня, что и требовалось доказать.
Почему так? Потому что, раз функция возрастает при любых допустимых x, значит ее график идет снизу вверх, при этом либо вообще не пересекая ось абсцисс, либо пересекая её лишь раз и больше не возвращаясь.
Ответ: x=8.