task/30403630 Решите в целых числах уравнение: x⁶ =y³+217
решение x⁶= y³+217 ⇔(x²)³- y³= 217 ⇔ (x²- y)( (x²)² +x²y +y²) = 217
т.к. (x²)²+x²y+y²=(x²+y/2)²+3y²/4 > 0 ⇒ x² - y > 0 || x² - y = d > 0 ||
* * * т.е. отрицательные делители числа 217 исключаются * * *
Можно установить ограничение и на x² - 7 = d
{ x²- y =d; (x²)²+x²y +y²)=217/d.⇔{y=x²-d; (x²)²+x²(x²-d)+(x²-d)²=217/d.
(x²)² + x²(x² - d)+(x² - d)² =217/d.⇔ (x²)² - d*x²+(1/3)* (d²-217/d ) = 0
Уравнение может иметь решение, если дискриминант
D=d²- (4/3)(d²- 217/d) = 868/3d - d²/3= (868 - d³)/3d ≥ 0 ⇒ 0 < d < 10
* * * 217 = 7*31 =31*7 = 217*1 = 1*217 * * * остается рассматривать два случая d = 7 или d = 1
а) d=x²- y = 7
{ x²- y = 7 ; (x²)² +x²y +y²) = 31.
(x²)²- 7x²+6 = 0 ⇔ [ x² = 6 ; x²= 1. x²= 1 ⇔ x²=± 1 ⇒y =x² - 7 = - 6
(-1 ; - 6) , (1; - 6) * * * x²= 6⇔x =±√6 не целые * * *
б) d=x²- y = 1
{ x²- y =1 ; (x²)² +x²y +y²) =217.⇔
(x²)²- x²- 72 = 0 ⇔ [ x²= - 8 ; x² = 9. x²= 9⇔ x =±3 ⇒ y =x² - 1 =8
(-3 ;8) , (3;8) * * x²= - 8 не имеет (даже) действительных корней * *
ответ: (-3 ;8) , (-1 ; - 6) , (1; - 6) , (3 ;8).
{ y=x²-7 ; (x²)²+x²(x²-7)+(x²-7)² =31.
(x²)² +x²(x²-7)+(x²-7)² =31 ⇔ 3(x²)² -21x²+(49-31) = 0⇔3(x²)²- 21x²+18 = 0 ⇔ (x²)²- 7x²+6 = 0 ⇔ [ x²= 1 ; x²= 6. x² =1 ⇔ x= ±1 ⇒ y =x²-7 =1-7= - 6