Здраствуйте обясните пожалуйста задачу : найти найбольшее значение у уравнении...

Здесь собственно говоря вам нужно почитать об одной известной формуле: "формула дополнительного угла". Сама формула:

$a \sin (kx)\pm b\cos(kx)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(kx\pm\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$

Ваш ответ на вопрос: "Зачем мы вынести √(12^2+5^2)". Это для того, чтобы свести к синусу суммы двух углов, что собственно упростит нам найти наибольшее и наименьшее значения выражения с помощью двойного неравенства.

$5\sin\alpha+12\cos\alpha-7=\sqrt{5^2+12^2}\sin(\alpha+\arcsin\frac{12}{\sqrt{5^2+12^2}})-7=\\ =13\sin (\alpha+\arcsin\frac{12}{13})=13\sin(\alpha+\phi)$

здесь для простоты обозначили $\phi=\arcsin\frac{12}{13}$ .

Известно, что синус изменяется на промежутке от -1 до 1, и тогда

$-1\leqslant\sin (\alpha+\phi)\leqslant 1\\ -13\leqslant13\sin(\alpha+\phi)\leqslant13~~~\slash -7\\ -20\leqslant13\sin(\alpha+\phi)-7\leqslant6$

Откуда наибольшее значение выражения — 6.