В левой части стоит бесконечная геометрическая прогрессия, ограниченная сверху конечным выражением. Это возможно лишь для бесконечной убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1).
У неё b₁ = 1, q = x/3.
Поэтому неравенство можно переписать как:
1/(1 - x/3) ≤ x + 5
3/(3 - x) ≤ x + 5
3/(3 - x) - (x + 5) ≤ 0
(3 - (x + 5)(3 - x))/(3 - x) ≤ 0
(3 - 3x + x² - 15 + 5x)/(3 - x) ≤ 0
(x² + 2x - 12)/(3 - x) ≤ 0
x² + 2x - 12 = 0
D = 4 + 48 = 52
x = (-2 (+/-) √52)/2 = -1 (+/-) √13
x² + 2x - 12 = (x - (-1 + √13))(x - (-1 - √13))
(x - (-1 + √13))(x - (-1 - √13))/(3 - x) ≤ 0
-1 - √13 -1 + √13 3
——-•———————•—————ο—-> x
(+) (-) (+) (-)
x ∈ [-1 - √13; -1 + √13] ∪ (3; +∞)
x ∈ (-3; 3)
x ∈ Z
x ∈ (-3; √13 - 1]
x ∈ Z
x ∈ {-2; -1; 0; 1; 2}
Сумма всех решений неравенства: -2 - 1 + 0 + 1 + 2 = 0.