Cоставить уравнение гиперболы , фокусы которой лежат ** оси абсцисс симметрично...

0 голосов
103 просмотров

Cоставить уравнение гиперболы , фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат , если дана точка M(-5;3) гиперболы и эксцентриситет Е= sqrt 2 Чему равна длина мнимой полуоси гиперболы? Очень прошу срочно!!!!!!!!!!


Геометрия (30 баллов) | 103 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Поскольку фокусы гиперболы лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то это стандартная гипербола, которая имеет уравнение:

\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1, где а - действительная полуось, b - мнимая полуось

Поскольку дана точка гиперболы, то подставим ее координаты в уравнение:

\dfrac{(-5)^2}{a^2}-\dfrac{3^2}{b^2}=1

Также распишем эксцентриситет гиперболы:

\varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} =\sqrt{2}

Преобразуем. Возведем в квадрат:

\dfrac{a^2+b^2}{a^2} =2\\a^2+b^2=2a^2\\b^2=a^2

Подставим в уравнение с координатами выявленное соотношение:

\dfrac{25}{a^2}-\dfrac{9}{a^2}=1\\\\\dfrac{16}{a^2}=1\\\Rightarrow a^2=16\\\Rightarrow b^2=16

Все необходимые данные для записи уравнения есть:

\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{16}=1

Поскольку квадрат мнимой полуоси b^2=16, то ее длина - соответственно |b|=4

(271k баллов)