Преобразуем выражение.
2x² + y² = 2xy + 4x.
x² - 2xy + y² = 4x - х².
(x - y)² = х(4 - х).
Так как квадрат числа всегда положительный (то есть (x - y)² ≥ 0), то х(4 - х) ≥ 0.
Решаем неравенство методом интервалов:
-х(х - 4) ≥ 0.
х(х - 4) ≤ 0.
Корни неравенства 0 и 4, решение неравенства: х ∈
[0; 4].
Подставим все целые числа из этого промежутка и найдем все целые значения у.
1) х = 0.
(0 - y)² = 0(4 - 0).
(-y)² = 0.
у = 0.
Ответ: (0; 0).
2) х = 1.
(1 - y)² = 1(4 - 1).
1 - 2у + у² = 3.
y² - 2у - 2 = 0.
D = 4 + 8 = 12 (√D = 2√3)/
у = (2 ± 2√3)/2 (у не целое число).
3) х = 2;
(2 - y)² = 2(4 - 2).
4 - 4у + y² = 4.
y² - 4у = 0.
у(у - 4) = 0.
у = 0 и у = 4.
Ответ: (2; 0) и (2; 4).
4) (4 - y)² = 4(4 - 4).
16 - 8у + y² = 0.
y² - 8у + 16 = 0.
D = 64 - 64 = 0 (один корень).
у = 8/2 = 4.
Ответ: (4; 4).
Решение задания: (0; 0), (2; 0), (2; 4) и (4; 4).