task/30456869
2 . Найти асимптоты функции y = x² / (x²+ 4). Построить схематично график этой функции
решение у =x² / (x²+ 4)
а). D(y): x ∈ R * * * очевидно x²+ 4 ≥ 4 ≠ 0 * * *
б). у(-x) =y(x) → четная функция ,следовательно график функции симметрично относительно оси ординат
в) . (0 ; 0) ∈ Графику функции . y ≥ 0 ( min(y) =0 )
г). у = x² / (x²+ 4) = 1 - 4 / (x²+ 4) * * * 0 ≤ у < 1 * * * x→ ∞ ⇒ y→1 - 0
y = 1 горизонтальный асимптот
3. Написать уравнение касательной в точке x = 1 к кривой y = 2x³+6x²+2x - 3
Уравнение касательной в точке x = 1: y - y(1) = y'(1)*(x-1)
y(1) =2*1³+6*1²+2*1-3 =7 ; y '=2*3x²+6*2*x+2=2(3x²+6x +1); y'(1) =20
y -7= 20(x-1) ⇔ y = 20x -13
ответ: y = 20x -13 * * * 20x -y - 13 = 0 * * *
4. Найти экстремум функции y= x³- 6x²+9x - 3
y '= (x³- 6x²+9x - 3)' = 3x²- 6*2*x+9*1+0 =3(x²-4x+3) = 3(x-1)(x-3)
+ + + + + + + (1) - - - - - - - (3) + + + + + + +
y ↑ max ↓ min ↑
y(1) = 1³- 6*1²+9*1 - 3 = 1 - 6+9 - 3 = 1
y(3) = 3³- 6*3²+9*3 - 3 = - 57
5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y= x³- 12x - 3 на отрезке [ -1 ;5]
y '= ( x³- 12x - 3) ' =3x²- 12 =3(x²- 4)=3(x²- 2²) = 3(x+2)(x-2)
y ' = 0 ⇔ [ x = - 2 ; x= 2 .
y(-1) = 1³- 12*1 - 3 = 1 -12 -3 = -14 ; y(5) = 5³- 12*5 - 3 =125 - 60 - 3 = 62
y(-2) = (-2)³- 12*(-2) - 3 = 13 ; y(2) = 2³- 12*2 - 3 = -19 .
min { -14 ; 62 ; 13 ; -19} = -19 , max { -14 ; 62 ; 13 ; -19} = 62
ответ: - 19 ; 62