f(x) =2x³-9x²+12x
Найдём первую и вторую производные и определим экстремальные точки.
f'(x) =6x²-18x+12
6x²-18x+12=0 => x²-3x+2=0 =>
(x-2)(x-1)=0
Экстремальные точки по первой производной - это точки локального максимума или минимума
x=2 и x=1
f"(x)=12x-18
12x-18=0 x=3/2 это точка перегиба.
Определим области возрастания и уменьшения функции в интервалах
(-бесконечность ;1),(1; 3/2), (3/2; 2),(2;бесконечность)
Выберем из этих интервалов точки
0; 5/4; 7/4 и 3
Подставим их в 1ю производную
1) f'(0)=12 >0 функция возрастает
2) f'(5/4)=6(5/4)²-18(5/4)+12=9,375-22,5+12=-1,125<0 функция убывает </p>
3) f'(7/4)=6(7/4)²-18(7/4)+12=18,375-31,5+12= -1, 125 <0 функция убывает </p>
4) f'(3)=6×3²-18×3+12=54-54+12=12 >0 функция возрастает
Таким образом, в заданном интервале [0;2] в точке x=1 имеем локальный максимум. Ордината точки
y=f(1)=5