Всех возможных вариантов бесконечное количество. Если решать только для целых, то:
xy+x+y=1000
x(y+1)=1000-y
x=(1000-y)/(y+1), Очевидно, что если прибавить единицу и вычесть, то ничего не изменится.
x=(1000-y)/(y+1)+1-1
x=1001/(y+1)-1.
Т.к. x-целое число, (-1)-целое, значит и 1001/(y+1)-целое.
Делители 1001: 1,7,11,13, 77,91,143,1001, -1,-7,-11,-13, -77,-91,-143,-1001, значит y+1 равно одному из этих чисел.
Значит, чтобы получить y-надо вычесть из данных значений 1, а x получить по выведенной выше формуле.
Целочисленными решениями уравнения являются пары (x;y): (1000;0),(142;6),(90;10),(76;12),(12;76),(10;90),(6;142),(0;1000),(-2;-1002),(-8;-144),(-12;-92),(-78;-14),(-92;-1),(-144;-8),(-1002;-2)