task/30462032
2. Решить уравнение 3x² - 2|x| + 2 = 2 / (3x²- 2|x| +1 )
решение
Замена : t = 3x²- 2|x| +1 = 3(|x| - 1/3)² + 2/3 ≥ 2/3 , x² = |x|²
3x²-2|x| +2 =2/(3x²-2|x| +1) ⇔t+1 =2/t ⇔ t²+t -2 =0⇔ [ t = 1 ; t = - 2.
* * * t= - 2 < 2/3 → посторонний корень * * * t = 1
3x²- 2|x| +1 =1 ⇔3|x|²-2|x| =0 ⇔3|x|*(|x| -2/3) =0 ⇔ [ |x| =0 ; |x| =2/3.
ответ: - 2/3 ; 0 ; 2/3 . * * * 0 ; ±2/3 * * *
5. Решить неравенство ( 2(x-1)² -3|x-1| +3 ) / ( (x-1)²+1 ) ≥ 1 .
решение
( 2(x - 1)²- 3|x - 1| +3 ) /( (x - 1)²+1 ) ≥ 1 ⇔2(x - 1)²- 3|x -1| + 3 ≥ (x-1)² + 1 ⇔ (x-1)²-3|x-1| +2 ≥ 0 ⇔ |x-1|²- 3|x-1| +2 ≥ 0 ⇔ ( |x-1| - 1 )*( |x-1| - 2 ) ≥ 0 ⇔ [ |x-1| ≥ 2 ; |x-1| ≤ 1 . ⇔ [ |x-1| ≥ 2 ; |x-1| ≤ 1.⇔[ x-1 ≤ -2 ; x-1 ≥ 2 ; -1 ≤ x-1 ≤ 1 . ⇔ [ x ≤ - 1 ; x ≥ 3 ; 0 ≤ x ≤ 2 .
ответ : x ∈( -∞; -1] ∪ [ 0 ; 2] ∪ [3 ; ∞) .
6. Найдите все значения параметра b , при которых уравнение
( x² - (2b+3)x +b² +3b) / (x² - 9) = 0 имеет ровно один корень
решение
(x²-(2b+3)x +b²+3b) / (x²- 9) =0⇔( x²-(2b+3)x +b²+3b) / (x+3)(x-3) = 0
ОДЗ : x ≠ ± 3
x²- (2b+3)x +b² +3b = 0 ⇔ x² - (b+b+3)x +b(b+3) =0 ⇒ x₁ =b; x₂=b+3. Получается : x²- (2b+3)x +b² +3b =0 при любых значениях параметра b имеет решения и они разные (разница 3). Значит исходное уравнение будет иметь ровно один корень x₀ , если один из корней уравнения x²- (2b+3)x +b² +3b = 0 будет - 3 или 3 .
Если :
x₁= b = - 3 , то x₀ = x₂ = b+ 3 = 0
x₁= b = 3 , то x₀ = x₂ = b + 3 = 6
x₂=b +3 = - 3 , т.е. при b = - 6 ,то x₀= x₁ = b = - 6
x₂= b +3 = 3 , т.е.при b = 0 , то x₀ = x₁ = b = 0
ответ : { - 6 ; - 3 ; 0 ; 3 }