A+b=2 Докажите, что a^4+b^4>=2

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Выразим из условия $a+b=2$ переменную b:

$b=2-a$

Подставим это соотношение в рассматриваемое неравенство:

$a^4+b^4\geqslant2\\a^4+(2-a)^4-2\geqslant0\\a^4+((a-2)^2)^2-2\geqslant0\\a^4+(a^2-4a+4)^2-2\geqslant0\\a^4+a^4+16a^2+16-8a^3+8a^2-32a-2\geqslant0\\2a^4-8a^3+24a^2-32a+14\geqslant0\\a^4-4a^3+12a^2-16a+7\geqslant0$

Рассмотрим многочлен в левой части неравенства. Разложим его на множители:

$a^4-4a^3+12a^2-16a+7=a^4-a^3-3a^3+3a^2+9a^2-9a-7a+7=\\=a^3(a-1)-3a^2(a-1)+9a(a-1)-7(a-1)=\\=(a-1)(a^3-3a^2+9a-7)=(a-1)(a^3-a^2-2a^2+2a+7a-7)=\\=(a-1)(a^2(a-1)-2a(a-1)+7(a-1))=(a-1)^2(a^2-2a+7)$

Возможно, удобнее вести запись в другой форме (схема Горнера, деление в столбик), так как дважды при разложении на множители сумма коэффициентов многочлена равнялась нулю, что означает, что корнем является число а=1.

Заметим, что множитель $(a^2-2a+7)$ не раскладывается на линейные множители:

$a^2-2a+7=0\\D_1=(-1)^2-1\cdot7<0$

Возвращается к неравенству:

$a^4-4a^3+12a^2-16a+7\geqslant0\\(a-1)^2(a^2-2a+7)\geqslant0$

Левая часть из корней имеет лишь корень четной кратности, равный 1. Решая неравенство по методу интервалов, при переходе через корень четной кратности знак не меняется на противоположный. Очевидно, что на каждом из образовавшихся интервалов фигурирует знак "плюс". Сам корень четной кратности также является решением, так как неравенство нестрогое.

Значит, решением неравенства являются все действительные числа. Дополнительно можно отметить, что равенство достигается лишь в точке а=1, в других случаях наблюдаем строгое неравенство.

$a\in\mathbb{R}$

Поскольку последнее неравенство выполняется при любых значениях, то и исходное неравенство также выполняется при любых значениях.

Artem112_zn (271k баллов) 22 Май, 20