Даны точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12).
Находим уравнение плоскости через эти точки.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xAy - yAz - zA
xB - xAyB - yAzB - zA
xC - xAyC - yAzC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 2y - 1z - 8
(-1) - 23 - 14 - 8
3 - 20 - 112 - 8
= 0
x - 2 y - 1 z - 8
-3 2 -4
1 -1 4
= 0
x - 2 2·4-(-4)·(-1) - y - 1 (-3)·4-(-4)·1 + z - 8 (-3)·(-1)-2·1 = 0
4 x - 2 + 8 y - 1 + 1 z - 8 = 0
4x + 8y + z - 24 = 0.
Переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".
(x/(24/4)) + (y/(24/8) + (z/24) = 1.
(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.
Получили вершины тетраэдра:
А(6; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; 3; 0) и Д(0; 0; 24).
Находим длины перпендикуляров из начала координат (точка В) к отрезкам АС, АД и СД.
АС = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.
ВК = (3*6)/(3√5) = 6/√5.
АД = √6² + 24²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17.
ВМ = (6*24)/(6√17) = 24/√17.
СД = √(3² + 24²) = √(9 + 576) = √585 = 3√65.
ВЕ = (3*24)/(3√65) = 24/√65.
Находим наклонные отрезки ДК, СМ и АЕ.
ДК = √(24² + ВК²) = √(576 + (36/5)) = √(2916/5).
СМ = √(3² + ВМ²) = √(9 + (576/17)) = √(729/17).
АЕ = √(6² + ВЕ²) = √(36 + (576/65)) = √(2916/65).
Теперь можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра,образованного плоскостями координат и плоскостью,проходящей через точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12)
.
Косинус угла ДКВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОУ) равен: cos(ДКВ) = ВК/КД = (6/√5)/(√(2916/5)) = 6/√2916 = 1/9.
Косинус угла СМВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОZ) равен: cos(СМВ) = ВМ/СМ = (24/√17)/(√(729/17)) = 6/√2916 = 8/9.
Косинус угла ВЕА (наклона плоскости АВС к координатной плоскости УОZ) равен: cos(ВЕА) = ВЕ/АЕ = (24/√65)/(√(2916/5)) = 24/√2916 = 4/9.