Во-первых, правильно писать 'подрАстал'
Тем (тот) - указательное местоимение
Временем (время) - существительное
В - предлог (не производные)
Микеаны, Аргос, Уврисфей- существительное (нарицательные)
Подрастал (подрастать) - глагол (не совершенный вид)
Царевич - существительное
Опередивший - причастие (действительное)
Рождением (рождение) - существительное