Докажите методом мат. индукциейВ третьем пункте не выходит, объясните, что я делаю не...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) При n=1 подставим в формулу и получаем
$\frac{1*(4*1^2-1)}{3}=\frac{1*3}{3}=1$
Выполняется соотношение.
2) Предположим, что при n=k, верно равенство, которое требуется доказать, т. е.
$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}$
3) Учитывая, 1) и 2) докажем при n=k+1 равенство
$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}$
или
$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}$

Преобразуем правую часть, чтобы было понятнее

$\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+8k+4-1)}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3}=$

раскроем скобки

$=\frac{(k+1)(4k^2+8k+4-1)}{3}=\frac{4k^3+4k^2+8k^2+8k+3k+3}{3}=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}$

То есть должны доказать, что

$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}\quad(*)$

при условии верности 1) и 2)

Доказательство утверждения (*) при условии верности предположения 2)
Прибавим ко 2)-му равенству с обеих сторон последнее слагаемое при n=k+1. То есть $(2(k+1)-1)^2=(2k+2-1)^2=(2k+1)^2$ . Получаем

$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2$

Преобразуем правую часть, так как левая совпадает с тем, что в (*).

$\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2=\frac{k(4k^2-1)+3(2k+1)^2}{3}=$

Приведем к общему знаменателю

$=\frac{4k^3-k+3(4k^2+4k+1)}{3}=\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}$

Получилось то, что в (*).

Доказательство завершено

bearcab_zn (114k баллов) 15 Март, 18