Применяя двойной интеграл, найти площадь фигуры D, ограниченную линиями. y=x^2, y-x=2， x≥0

Найдем точки пересечения прямой y = x + 2 и параболы y = x^2

Приравняем и получим x + 2 = x^2

Надо решить квадратное уравнение x^2 - x - 2 = 0

По теореме Виета x1 = -1 x2 = 2

Значит фигура D ограничена прямыми x = 0 и x = 2 по оси OX,

а по оси OY сверху прямой y = x + 2, а снизу параболой y = x^2

$S_{D}=\int\limits^2_0{}\,dx\int\limits^{x+2}_{x^{2}}{}\,dy=\int\limits^2_0{(x+2-x^{2})}\,dx=(\frac{1}{2} x^{2}+2x-\frac{1}{3} x^{3})\left\{{{2}\atop{0}}\right.=(2+4-\frac{8}{3})-(0+0-0)=\frac{10}{3}$