Докажите, что при любом целом n есть число целое.

Числитель равен

$n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n=n(n^4+10n^3+35n^2+50n+24)=\\\\=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)\\$

Произведение 5 подряд идущих чисел. Известно, что оно делится на 5!, то есть на 120, то есть на знаменатель. Поэтому исходное выражение целое при целых н.