Дана последовательность xk такая, что x1 = 1, xn + 1 = n sin xn + 1. Докажите, что...

Question

Дана последовательность xk такая, что x1 = 1, xn + 1 = n sin xn + 1. Докажите, что последовательность непериодична.

Answer 1

Предположим, что она периодична и длина периода равна T, тогда xm + T = xm и xm + T + 1 = xm + 1 при m ≥ m0.

Если при некотором m ≥ m0  sin xm ≠ 0, то xm + T + 1 = (m + T) sin xm + T + 1 = (m + T) sin xm + 1 ≠ m sin xm + 1 = xm + 1.

А если  sin xm = 0, то xm + 1 = 1, и  sin xm + 1 =  sin 1 ≠ 0, так что предыдущее рассуждение применимо к xm + 1.

Таким образом получаем противоречие