Анна Горенко родилась в одесском районе Большой Фонтан в семье потомственного дворянина, инженера-механика флота в отставке А. А. Горенко (1848—1915), ставшего после переезда в столицу коллежским асессором, чиновником для особых поручений Госконтроля. Она была третьей из шести детей.