\lim_{x \to 0} ( \frac{1}{tgx} - \frac{1}{\sin x} )= \lim_{x \to 0} ( \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x})=
Если подставить х=0 то видим что знаменатель обращается в 0, а значит делить на 0 нельзя. Воспользуемся правилом Лопиталя(возьмём производную числитель и знаменатель)
= \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x-1)'}{(\sin x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{-\cos x} =0