Как cosA превращается в sqrt(1/1+tg^2a)? Может вопрос и достаточно глупый, но я эту тему...

Потому что

$1+tg^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }$

Докажем это:

$1+tg^2\alpha =\frac{1}{\cos^2\alpha }\\1+\frac{\sin^2\alpha }{\cos^2\alpha } =\frac{1}{\cos^2\alpha }\\\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha } =\frac{1}{\cos^2\alpha }\\\frac{1}{\cos^2\alpha }=\frac{1}{\cos^2\alpha }$

Доказано. Если выразить отсюда косинус, то получим:

$\cos^2\alpha =\frac{1}{1+tg^2\alpha } \\\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{1}{1+tg^2\alpha }}$

В формуле ставится + или - в зависимости от знака косинуса на рассматриваемом интервале. В данном случае речь идет о косинусе острого угла в треугольнике, поэтому в формуле конечно же стоит +.

Такое же тождество имеется и для синуса:

$1+ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha }$

Доказывается аналогично.