Помогите пожалуйста решить, я скинул фотку

Question

Дан 1 ответ

KayKosades_zn · Answer 1 · 2020-05-23T08:38:44+0000

$8\sin^2\frac{2\pi x}{9} +2(\sqrt{3}+2)\cos\frac{2\pi x}{9}=8+\sqrt{3}\\8-8\cos^2\frac{2\pi x}{9}+2(\sqrt{3}+2)\cos\frac{2\pi x}{9}=8+\sqrt{3}\\8\cos^2\frac{2\pi x}{9}-2(\sqrt{3}+2)\cos\frac{2\pi x}{9}+\sqrt{3}=0\\$

Теперь проведем стандартную замену $\cos\frac{2\pi x}{9}=t,\ |t|<1$

И не совсем стандартную, но удобную для вычислений: $\sqrt{3}+2=a$

Тогда

$8t^2-2at+a-2=0\\D=4a^2-32(a-2)=4a^2-32a+64=(2a-8)^2\\\sqrt{D}=2a-8\\t_1=\frac{2a+2a-8}{16} =\frac{4a-8}{16} =\frac{4\sqrt{3}+8-8}{16} =\frac{\sqrt{3}}{4}\\t_2=\frac{2a-2a+8}{16} =\frac{1}{2}$

Оба числа по модулю меньше единицы, поэтому делать нечего, нужно решать дальше.

Получаем совокупность уравнений

$\left [ \begin{gathered} \cos\frac{2\pi x}{9} =\frac{\sqrt{3}}{4} \\ \cos\frac{2\pi x}{9}=\frac{1}{2} \end{gathered}$

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень уравнения. Если мы сейчас будем сразу решать уравнение относительно х и долбиться со всеми этими $\frac{2\pi x}{9}$ , это будет довольно нудно. Пойдем другим путем. Проведем еще одну замену $\varphi=\frac{2\pi x}{9}$

и найдем наибольший отрицательный корень $\varphi$ . В самом деле, такой корень будет больше всех остальных отрицательных корней уравнения, при переходе обратно к иксу мы умножим все корни на $\frac{9}{2\pi}$ . Число это положительное, поэтому найденный нами x по прежнему будет наибольшим из всех других отрицательных х.