Вычислить определённый интеграл
Проведем замену:
Когда x пробегает значения от 0 до 7, t принимает значения от 1 до 2. Подставляем всё это в интеграл и получаем:
![t=\sqrt[3]{x+1} \\x+1=t^3\\dx=3t^2dt](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B1%7D%20%5C%5Cx%2B1%3Dt%5E3%5C%5Cdx%3D3t%5E2dt "t=\sqrt[3]{x+1} \\x+1=t^3\\dx=3t^2dt")
![\displaystyle\int\limits_0^7\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} =\displaystyle\int\limits_1^2\frac{3t^2dt}{1+t}=3\displaystyle\int\limits_1^2\frac{t(t+1)-(t+1)+1}{t+1}dt =3\displaystyle\int\limits_1^2\left(t-1-\frac{1}{t+1}\right)dt=3\left(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|\right)\left.\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\right|_{1}^{2}=3\left(2-2+\ln3-\frac{1}{2}+1-\ln2\right)=\frac{3}{2} -\ln\frac{27}{8}\approx \\\approx 2.72](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%5Climits_0%5E7%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B1%7D%7D%20%3D%5Cdisplaystyle%5Cint%5Climits_1%5E2%5Cfrac%7B3t%5E2dt%7D%7B1%2Bt%7D%3D3%5Cdisplaystyle%5Cint%5Climits_1%5E2%5Cfrac%7Bt%28t%2B1%29-%28t%2B1%29%2B1%7D%7Bt%2B1%7Ddt%20%3D3%5Cdisplaystyle%5Cint%5Climits_1%5E2%5Cleft%28t-1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%2B1%7D%5Cright%29dt%3D3%5Cleft%28%5Cfrac%7Bt%5E2%7D%7B2%7D-t%2Bln%7Ct%2B1%7C%5Cright%29%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%26%5C%5C%26%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3D3%5Cleft%282-2%2B%5Cln3-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B1-%5Cln2%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20-%5Cln%5Cfrac%7B27%7D%7B8%7D%5Capprox%20%5C%5C%5Capprox%202.72 "\displaystyle\int\limits_0^7\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} =\displaystyle\int\limits_1^2\frac{3t^2dt}{1+t}=3\displaystyle\int\limits_1^2\frac{t(t+1)-(t+1)+1}{t+1}dt =3\displaystyle\int\limits_1^2\left(t-1-\frac{1}{t+1}\right)dt=3\left(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|\right)\left.\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\right|_{1}^{2}=3\left(2-2+\ln3-\frac{1}{2}+1-\ln2\right)=\frac{3}{2} -\ln\frac{27}{8}\approx \\\approx 2.72")