Lim (tg(x)-tg(a)) / (ln(x)-ln(a)) при x->a Решение не через правило Лопиталя

Ответ:

$\lim\limits_{x \to a} \frac{tg(x) - tg(a)}{ln(x) - ln(a)} = a(1 + tg^2(a)) = \frac{a}{cos^2(a)}$

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{x \to a} \frac{tg(x) - tg(a)}{ln(x) - ln(a)}\\\mathbf{t = x - a, \quad x = t + a}\\\lim\limits_{t \to 0} \frac{tg(t + a) - tg(a)}{ln(t + a) - ln(a)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{tg(t + a) - tg(a)}{ln(\frac{t}{a} + 1)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\frac{tg(t) + tg(a)}{1 - tg(t)tg(a)} - tg(a)}{ln(\frac{t}{a} + 1} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{tg(t) + tg(a) - tg(a) + tg(t)tg^2(a)}{\frac{t}{a}(1 - tg(t)tg(a))} =\\= \lim\limits_{t \to 0} \frac{tg(t)(1 + tg^2(a))}{\frac{t}{a}} = a(1 + tg^2(a))$