Помогите, пожалуйста, найти производную.

0 голосов
34 просмотров

Помогите, пожалуйста, найти производную.

image
Алгебра (94.4k баллов) | 34 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Для дифференцирования функции вида y=f(x)^{g(x)} применяется логарифмическое дифференцирование.


1.

y=(\arcsin x)^{e^x}

\ln y=\ln(\arcsin x)^{e^x}

\ln y=e^x\ln\arcsin x

(\ln y)'=(e^x\ln\arcsin x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=(e^x)'\cdot\ln\arcsin x+e^x\cdot(\ln\arcsin x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^x\cdot\ln\arcsin x+e^x\cdot\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot(\arcsin x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^x\cdot\ln\arcsin x+e^x\cdot\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^x\left(\ln\arcsin x+\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)

y'=y\cdot e^x\left(\ln\arcsin x+\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)

y'=e^x(\arcsin x)^{e^x}\left(\ln\arcsin x+\dfrac{1}{\arcsin x} \cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)


2.

y=x^{\arcsin x}

\ln y=\ln x^{\arcsin x}

\ln y=\arcsin x\ln x

(\ln y)'=(\arcsin x\ln x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=(\arcsin x)'\cdot\ln x+\arcsin x\cdot(\ln x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2} } \cdot\ln x+\arcsin x\cdot\dfrac{1}{x}

y'=y\cdot\left(\dfrac{\ln x}{\sqrt{1-x^2} } +\dfrac{\arcsin x}{x} \right)

y'=x^{\arcsin x}\left(\dfrac{\ln x}{\sqrt{1-x^2} } +\dfrac{\arcsin x}{x} \right)


3.

y=(\sin x)^{5e^x}

\ln y=\ln(\sin x)^{5e^x}

\ln y=5e^x\ln\sin x

(\ln y)'=(5e^x\ln\sin x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=(5e^x)'\cdot\ln\sin x+5e^x\cdot(\ln\sin x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x\cdot\ln\sin x+5e^x\cdot\dfrac{1}{\sin x}\cdot (\sin x)'

\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x\ln\sin x+5e^x\cdot\dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x

\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x\ln\sin x+5e^x\mathrm{ctg} x

\dfrac{1}{y}\cdot y'=5e^x(\ln\sin x+\mathrm{ctg} x)

y'=y\cdot 5e^x(\ln\sin x+\mathrm{ctg} x)

y'=5e^x(\sin x)^{5e^x}(\ln\sin x+\mathrm{ctg} x)

(271k баллов)
Похожие задачи