1. БеспрЕстанно - пре- приставка в значении "пере" (от слова перестать)
2. Удвоенная Н пишется, потому это наречие, образованное от прилагательного. БЕСПРЕСТАННЫЙ - в прилагательном пишется НН, потому что суффикс ЕНН. Следовательно и в наречии тоже пишется НН.