Найдём точки экстремума заданной функции. Для этого надо найти критические точки функции, то есть те точки, где производная у(х) равна 0 или не существует. При нахождении производной учтём, что первые два слагаемых - константы, а значит их производная равна 0.
![y=6+\frac{2\sqrt3\pi }{3}-4\sqrt3\cdot x-8\sqrt3\cdot cosx\; ,\; \; x\in [\, 0;\frac{\pi }{2}\, ]\\\\y'=-4\sqrt3-8\sqrt3\cdot (-sinx)=4\sqrt3\cdot (-1+2\, sinx)=0\; \; \to \\\\-1+2sinx=0\; ,\; \; sinx=\frac{1}{2}\; \; \to \\\\x=(-1)^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}\in [\, 0;\frac{\pi }{2}\, ]:\; \; y(\frac{\pi}{6})=6+\frac{2\sqrt3\pi }{3}-4\sqrt3\cdot \frac{\pi}{6}-8\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6-12=-6\; ,\\\\y(0)=6+\frac{2\sqrt3\pi }{3}-8\sqrt3=6+\frac{2\sqrt3\cdot (\pi -12)}{3}\approx -4,04](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D6%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt3%5Cpi%20%7D%7B3%7D-4%5Csqrt3%5Ccdot%20x-8%5Csqrt3%5Ccdot%20cosx%5C%3B%20%2C%5C%3B%20%5C%3B%20x%5Cin%20%5B%5C%2C%200%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%5C%2C%20%5D%5C%5C%5C%5Cy%27%3D-4%5Csqrt3-8%5Csqrt3%5Ccdot%20%28-sinx%29%3D4%5Csqrt3%5Ccdot%20%28-1%2B2%5C%2C%20sinx%29%3D0%5C%3B%20%5C%3B%20%5Cto%20%5C%5C%5C%5C-1%2B2sinx%3D0%5C%3B%20%2C%5C%3B%20%5C%3B%20sinx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%3B%20%5C%3B%20%5Cto%20%5C%5C%5C%5Cx%3D%28-1%29%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2B%5Cpi%20n%2C%5C%3B%20n%5Cin%20Z%5C%5C%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%5Cin%20%5B%5C%2C%200%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%5C%2C%20%5D%3A%5C%3B%20%5C%3B%20y%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%29%3D6%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt3%5Cpi%20%7D%7B3%7D-4%5Csqrt3%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D-8%5Csqrt3%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7D%3D6-12%3D-6%5C%3B%20%2C%5C%5C%5C%5Cy%280%29%3D6%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt3%5Cpi%20%7D%7B3%7D-8%5Csqrt3%3D6%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt3%5Ccdot%20%28%5Cpi%20-12%29%7D%7B3%7D%5Capprox%20-4%2C04 "y=6+\frac{2\sqrt3\pi }{3}-4\sqrt3\cdot x-8\sqrt3\cdot cosx\; ,\; \; x\in [\, 0;\frac{\pi }{2}\, ]\\\\y'=-4\sqrt3-8\sqrt3\cdot (-sinx)=4\sqrt3\cdot (-1+2\, sinx)=0\; \; \to \\\\-1+2sinx=0\; ,\; \; sinx=\frac{1}{2}\; \; \to \\\\x=(-1)^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}\in [\, 0;\frac{\pi }{2}\, ]:\; \; y(\frac{\pi}{6})=6+\frac{2\sqrt3\pi }{3}-4\sqrt3\cdot \frac{\pi}{6}-8\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6-12=-6\; ,\\\\y(0)=6+\frac{2\sqrt3\pi }{3}-8\sqrt3=6+\frac{2\sqrt3\cdot (\pi -12)}{3}\approx -4,04")
