Это задача является вариацией известной шахматной задачи "О 8 ферзях" (суть задачи в том, чтобы поставить 8 ферзей на поле 8x8 так, чтобы они не били друг друга). Известно, что у этой задачи имеется решение, причем не одно (а 92).
В данном вопросе условие постановки шашек такое же как и в задаче о ферзях, т.е. шашки не должны бить друг друга ни по одной из линий, в том числе и по диагонали, но не более 1 раза (то есть не более 2 шашек на одной линии).
Легко заключить, что 13 шашек таким образом мы поставить не сможем, т.к. тогда на одной горизонтали или вертикали (которых по 6) будет стоять 3 шашки.
Для постановки 12 шашек проведем следующие рассуждения (одно из возможных).
Разделим доску на четверти, каждая четверть образует поле 3x3. Суть состоит в том, чтобы расставить на этом поле 3 шашки (чтобы в сумме давало 3x4=12), чтобы они не стояли на одной вертикали или горизонтали и били друг друга не более чем 1 раз. Тогда, остальные квадраты 3x3 получим из него обычным поворотом на 90°. Единственный уникальный способ такой расстановки - на рисунке, остальные способы есть перевороты этой расстановки на 90, 180 и 270 градусов.
Осталось соединить квадраты вместе (это не так просто, как кажется на первый взгляд). Для того, чтобы шашки выполняли условия задачи необходимо (но не достаточно), чтобы их расстановка на столе была симметричной относительно средних линий (по центру доски) и диагоналей доски. Таких вариантов только 4.
Причем один (первый рисунок) из них является абсолютно симметричным (расстановка шашек не поменяется при повороте доски на 90°). Две из них (второй и третий) получаются друг из друга поворотом доски, можно считать эти решения различными, если доска размечена (есть черные и белые поля). Последнее решение (четвертый рисунок) не удовлетворяет условиям задачи, т.к. существуют 4 диагонали, на которых стоят 3 шашки.
Таким образом, на поле 6x6 можно расставить 12 шашек, причем сделать это можно как-минимум 3 способами.
