Дано: Y(x) = (x² + 2*|x| - 8)/(x + 4)
Исследование функции:
1. Область определения D(y). Х+4≠0, Х≠4,Х∈(-∞;-4)∪(-4:+∞).
Разрыв при Х = -4. Вертикальная асимптота: Х = -4.
2. Пересечение с осью OХ. Y(x)=0.
При Х>0 в числителе = x²+2x-8 = (x-2)*(x+4) и Y(x) = x-2 = 0 и Х=2.
При Х<0</strong> Х= -2.
Нули функции: Х₁ = -2, Х₂ = 2
3. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X=(-oo;-4]U[-2;2] </p>
Положительная -Y(x)>0 X=[-4;-2]U[,2;+oo)
4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 8/4 = 2
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная ни нечётная.
6. Производная функции.
Корень производной Х1= 0, Х2 = -8
7. Локальные экстремумы.
Минимум – Ymin(0) = -2.
Максимум - Ymax(-8) = - 18.
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает - Х∈(-∞; -8]∪[0;+∞), убывает = Х∈[-8;-4)∪(-4;0].
9. Вторая производная - Y"(x).
Корней - нет. Точка перегиба в точке разрыва - Х= -4.
10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; -4).
Вогнутая – «ложка» Х∈[-4; +∞).
11. График в приложении.