Он работал на поле спустя рукава
Спустя рукава - фразеологизм, запятыми не выделяется
Данко бросился вперёд, высоко держа горячее сердце и освещая им путь.
Однородные деепричастные обороты, соединены союзом «и», запятая между ними не ставится
Под облаками, заливая воздух серебряными звуками, дрожали жаворонки
Деепричастный оборот выделяется с двух сторон запятыми
На другое утро, несмотря на упрашивание хозяев, Дарья Александровна собралась ехать
Выделяются запятыми обстоятельства уступки, выраженные именами существительными в косвенных падежах с предлогами “несмотря на... ”, “невзирая на... ”
Нагнулся старый атаман и стал отыскивать в траве свою люльку с табаком — неотлучную спутницу на море и на суше
Ставится тире, потому что присутствует распространённое приложение с оттенком самостоятельного сообщения
Награждается Петров Иван, ученик 8 класса, за победу в олимпиаде
Приложение «ученик 8 класса» выделяется запятыми
Я вырос в сумрачных стенах, душой дитя, судьбой монах.
Обособление приложения
Упрямец во всем, мой друг упорно стремился к своей цели
«Упрямец во всем» также является приложением, которое обособляется