Грамматическая основа - это подлежащее (П) и сказуемое (С)
У меня есть(С) замечательный пёс(П). Его зовут(С) Шарик. Я(П) всегда мечтал(С) о собаке. Долго просил(С) родителей подарить мне щенка. А мама(П) и папа(П) не соглашались(С). Ведь за собакой нужен(С) уход(П).
Но я(П) уговорил(С) родных. Мы(П) поехали(С) на рынок и выбрали(С) чудесного щенка. У него были(С) добрые и умные глаза. А сам он(П) был(С) мягкий, пушистый, размером с мою ладошку.
Сейчас Шарику пять лет. Он(П) стал членом(С, стал членом подчеркнуть вместе) семьи. Мы(П) любим(С) его, а он(П) любит(С) нас. Шарик(П) — верный друг и хороший сторож.