X+1+1/x+1/x^2+...=25/4

$x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\ldots +\frac{1}{x^n}+\ldots =\frac{25}{4}$

В левой части мы видим сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $\frac{1}{x}$ . Как известно, эта сумма существует и конечна тогда и только тогда, когда знаменатель этой прогрессии по модулю меньше 1:

1" alt="\left|\frac{1}{x}\right|<1\Leftrightarrow |x|>1" align="absmiddle" class="latex-formula">.

Предположив это, заменим левую часть уравнения на сумму прогрессии, которая вычисляется по формуле "первое слагаемое делить на один минус знаменатель":

$\frac{x}{1-\frac{1}{x}}=\frac{25}{4};\ \frac{x^2}{x-1}=\frac{25}{4};\ 4x^2=25x-25;\ 4x^2-25x+25=0;\ \left [ {{x=5} \atop {x=5/4}} \right.$

Поскольку оба полученных решения удовлетворяют условию |x|>1, включаем их в ответ.

Ответ: {5; 5/4}