СРОЧНО 40 БАЛЛОВ;КТО МОЖЕТ РЕШИТЬ

Question

Дан 1 ответ

as11111_zn · Answer 1 · 2020-05-25T02:21:08+0000

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Докажем это равенство с помощью метода математической индукции.

а) База индукции при n = 1

$1^{2}=\frac{1*(1+1)(2*1+1)}{6}\\1=1$

Получили верное равенство, значит база индукции доказана.

б) Шаг индукции, предположим, что при n = k верно равенство

$1^{2}+2^{2}+...+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ и докажем, что тогда при n = k + 1 верно равенство $1^{2}+2^{2}+...+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Расмотрим

$1^{2}+2^{2}+...+(k+1)^{2}=1^{2}+2^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2} (1)$

По нашему предположению $1^{2}+2^{2}+...+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ , подставим его в равенство (1)

$1^{2}+2^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}=\frac{(k+1)(2k^{2}+k+6k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^{2}+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^{2}+3k+4k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k(2k+3)+2(2k+3))}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$