Решите пожалуйста! 100 баллов!

1. Найдем OM как радиус вписанной окружности по формуле

$r=\frac{2S}{P}$ , где S - площадь ΔABC, а P - его периметр

$S=\frac{1}{2}MC*AB$

MC найдем из прямоугольника ΔBCM:

$MC=\sqrt{BC^2-MB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

Тогда S = 12, P = 16, r = 3/2

DM найдем из прямоугольного ΔDOM

$DM=\sqrt{OM^{2}+DO^{2}}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$

2. Т.к. в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD

Отсюда, AB + CD составляет половину периметра трапеции.

AB + CD = 8

А т.к. AB = CD, то AB = CD = 4

Из точки C опустим высоту CH на основание AD.

Из прямоугольного ΔCHD находим, что CH = 2

(против угла в 30° лежит половина гипотенузы CD = 4).

MK = CH = 2

MO = OK = 1

Из прямоугольного ΔEOK

$EK=\sqrt{OE^2+OK^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$